本章内容主要包括向量组及其线性相关性、向量组的秩、向量空间、n 维欧几里得空间。

第一节 向量组及其线性相关性

一、n 维向量

n 维向量;分量;零向量;n 维单位向量。

二、向量由向量组的线性表示

矩阵的列向量组、行向量组;线性组合;向量的线性表示;向量线性表示的充要条件。

三、向量组的线性相关性

线性相关、线性无关;线性无关的充要条件、充分条件、必要条件;线性相关与线性表示的内在联系;初等行(列)变换与矩阵列(行)向量组的线性相关性。

第二节 向量组的秩

一、等价向量组

两个向量组的等价;一个向量组被另一个向量组线性表示的充要条件、充分条件、必要条件;向量组等价的充要条件。

二、向量组的极大线性无关组与秩

向量组的极大线性无关组;极大线性无关组的等价定义;向量组的秩;矩阵的列秩、行秩与秩的关系。

第三节 向量空间

一、向量空间的概念

向量空间;运算的封闭性;零空间;生成的向量空间;子空间。

二、向量空间的基与维数

基;维数;n 维向量空间;自然基;坐标。

三、基变换和坐标变换

过渡矩阵;基变换公式;坐标变换公式。

第四节 n 维欧几里得空间

一、向量的内积

实向量的内积;n 维欧几里得空间;内积的性质;长度(范数);长度的性质;向量的夹角;正交。

二、正交向量组

正交向量组;标准正交向量组;正交向量组的性质;正交基;规范正交基;施密特正交化方法。

三、正交矩阵与正交变换

正交矩阵;正交矩阵的充要条件;正交变换;正交变换的性质。

第四章 线性方程组

主要测查应试者对线性方程组基本概念、线性方程组的求解和解的结构理论的掌握程度。要求应试者理解线性方程组、通解、解空间、基础解系等概念;掌握齐次线性方程组有非零解的充分必要条件、非齐次线性方程组有解的充分必要条件、齐次线性方程组的解空间的理论、齐次线性方程组的基础解系和通解的求法、非齐次线性方程组解的结构及通解、初等行变换求解线性方程组的方法等基本理论和基本方法。

本章内容主要包括线性方程组的基本概念、线性方程组的消元法、线性方程组解的结构。

第一节 线性方程组的基本概念

一、线性方程

n 元线性方程;线性方程的几何意义。

二、线性方程组的表示与解

mn 线性方程组;线性方程组的几何意义;线性方程组的解;同解方程组;相容(有解)方程组;矛盾(无解)方程组;解向量;通解;特解。

三、线性方程组的分类

齐次线性方程组;非齐次线性方程组。

第二节 线性方程组的消元法

一、线性方程组的初等变换

对调变换;倍乘变换;倍加变换;初等变换的性质;消元法。

二、化一般方程组为阶梯方程组

自由未知量;基本未知量;阶梯方程组;非齐次线性方程组解的判别;齐次线性方程组有非零解的判别准则。

第三节 线性方程组解的结构

一、齐次线性方程组解的结构

齐次线性方程组的解对线性运算的封闭性;解空间;基础解系;求基础解系的方法;齐次线性方程组的通解。

二、非齐次线性方程组解的结构

导出方程组;齐次线性方程组的解与非齐次线性方程组解的关系;非齐次线性方程组解

的结构;初等行变换法求非齐次线性方程组的解。