多元函数微分学

　　主要测查应试者对多元函数微分学理论的掌握程度。要求应试者理解平面点集、区域、多元函数、多元函数的极限、多元函数的连续性、偏导数与全微分、混合偏导数、方向导数与梯度、多元函数的极值和条件极值等概念;掌握二元函数的极限及性质、二元函数的连续性、有界闭区域上连续函数的性质、多元复合函数一阶和二阶偏导数的求法、全微分存在的必要条件和充分条件、全微分形式的不变性、隐函数存在定理、方程及方程组确定的隐函数的偏导数的求法、方向导数与偏导数的关系、方向导数与梯度的关系、空间曲线的切线和法平面及空间曲面的切平面和法线、多元函数极值存在的必要条件和充分条件、多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法等基本理论;了解向量值函数的导数与微分、二元函数的二阶泰勒公式和最小二乘法。

　　本章内容主要包括多元函数微分学、多元函数微分学的应用。

　　第一节 多元函数微分学

　　一、多元函数

　　平面点集;多元函数;二元函数的几何、物理意义;向量值函数;多元函数的极限;多元连续函数;向量值函数的极限与连续;多元函数极限运算法则;多元函数极限的性质;有界闭区域上连续函数的性质。

　　二、偏导数与全微分

　　偏导数;混合偏导数;全微分;高阶偏导数;连续、偏导数存在、全微分与偏导数连续之间的关系，全微分形式不变性。

　　三、复合函数的求导法则及隐函数求导公式

　　复合函数求导法则;隐函数存在定理;方程及方程组确定的隐函数的偏导数的求法。

　　第二节 多元函数微分学的应用

　　一、多元函数微分学的几何应用

　　空间曲线的切线及法平面;空间曲面的切平面和法线。

　　二、方向导数与梯度

　　方向导数;方向导数与偏导数的关系;梯度;梯度与方向导数的关系。

　　三、多元函数的极值与条件极值

　　多元函数极值和条件极值;多元函数极值存在的必要条件和充分条件;多元函数求极值、最值;求条件极值的拉格朗日乘数法;建立简单实际问题的模型并求最值。

　　四、二元函数泰勒公式

　　二元函数的泰勒公式。

　　多元函数积分学

　　主要测查应试者对多元函数积分学理论的掌握程度。要求应试者理解二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分、全微分方程、散度与旋度等概念;掌握重积分的性质、二重积分在直角坐标和极坐标系下的计算方法、三重积分(在直角坐标、柱面坐标、球面坐标下)的计算方法、曲线和曲面积分的性质、两类曲线积分的计算方法和格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、两类曲面积分的计算方法、高斯(Gauss)公式和斯托克斯(Stokes)公式以及重积分、线面积分的实际应用问题(曲面的面积、立体的体积、质心、转动惯量、引力等)等基本理论;了解沿任意封闭曲面积分为零的条件和空间曲线积分与路径无关的条件。

　　本章内容主要包括重积分、曲线积分与曲面积分。

　　第一节 重积分

　　一、二重积分

　　二重积分的定义;二重积分的几何意义;二重积分的性质;二重积分在直角坐标和极坐标系下的计算方法。

　　二、三重积分

　　三重积分的定义;三重积分的性质;三重积分在直角坐标、柱面坐标和球面坐标系下的

　　计算方法。

　　三、重积分的应用

　　曲面的面积;立体的体积;质心;转动惯量;引力。

　　第二节 曲线积分与曲面积分

　　一、曲线积分

　　对弧长的曲线积分的定义;对坐标的曲线积分的定义;两类曲线积分的关系;两类曲线积分的性质;两类曲线积分的计算方法。

　　二、格林公式及其应用

　　格林公式;平面曲线积分与路径无关的条件;二元函数的全微分求积、全微分方程。

　　三、曲面积分

　　对面积的曲面积分的定义;对坐标的曲面积分的定义;两类曲面积分的关系;两类曲面积分的性质;两类曲面积分的计算方法。

　　四、高斯公式和斯托克斯公式

　　高斯公式;斯托克斯公式;沿任意封闭曲面积分为零的条件;空间曲线积分与路径无关