无穷级数

主要测查应试者对级数理论的掌握程度。

要求应试者理解常数项级数、函数项级数、幂级数、级数的收敛与发散、绝对收敛与条件收敛、函数项级数的收敛域与和函数、傅里叶级数、函数项级数的一致收敛性等概念;掌握正项级数及其审敛法、交错级数及其审敛法，一致收敛级数的性质、函数项级数的收敛域、幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域、幂级数在其收敛区间内的基本性质、幂级数的和函数、函数展开成幂级数、函数展开成傅里叶级数等基本理论和基本方法;了解函数展开成幂级数的应用。

本章内容主要包括数项级数、幂级数、傅里叶级数。

第一节 数项级数

一、数项级数

数项级数;部分和;数项级数的收敛与发散;几何级数与 P 级数;收敛级数的基本性质;柯西收敛原理。

二、正项级数审敛法

比较审敛法;比较审敛法的极限形式;根值审敛法;比值审敛法。

三、任意项级数

交错级数;莱布尼兹定理;绝对收敛和条件收敛;绝对收敛级数的性质。

第二节 幂级数

一、函数项级数

函数项级数;函数项级数的收敛与发散;函数项级数的收敛域;函数项级数的一致收敛性;一致收敛级数的基本性质。

二、幂级数

幂级数的收敛、发散与绝对收敛;幂级数的性质;阿贝尔定理;幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域;幂级数的和函数。

三、函数展开为幂级数

基本初等函数的麦克劳林展开式;用间接法将初等函数展开为幂级数;近似计算;微分方程的幂级数解法;欧拉公式。

第三节 傅里叶级数

一、傅里叶级数的概念

三角级数;三角函数系的正交性;周期为 2 π 的函数的傅里叶级数;正弦级数与余弦级数。

二、一般周期函数的傅里叶级数

函数的周期延拓;周期为 2 l 的函数的傅里叶级数。