多元函数微分学

主要测查应试者对多元函数微分学理论的掌握程度。要求应试者理解平面点集、区域、多元函数、多元函数的极限、多元函数的连续性、偏导数与全微分、混合偏导数、方向导数与梯度、多元函数的极值和条件极值等概念;掌握二元函数的极限及性质、二元函数的连续性、有界闭区域上连续函数的性质、多元复合函数一阶和二阶偏导数的求法、全微分存在的必要条件和充分条件、全微分形式的不变性、隐函数存在定理、方程及方程组确定的隐函数的偏导数的求法、方向导数与偏导数的关系、方向导数与梯度的关系、空间曲线的切线和法平面及空间曲面的切平面和法线、多元函数极值存在的必要条件和充分条件、多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法等基本理论;了解向量值函数的导数与微分、二元函数的二阶泰勒公式和最小二乘法。

本章内容主要包括多元函数微分学、多元函数微分学的应用。

第一节 多元函数微分学

一、多元函数

平面点集;多元函数;二元函数的几何、物理意义;向量值函数;多元函数的极限;多元连续函数;向量值函数的极限与连续;多元函数极限运算法则;多元函数极限的性质;有界闭区域上连续函数的性质。

二、偏导数与全微分

偏导数;混合偏导数;全微分;高阶偏导数;连续、偏导数存在、全微分与偏导数连续之间的关系，全微分形式不变性。

三、复合函数的求导法则及隐函数求导公式

复合函数求导法则;隐函数存在定理;方程及方程组确定的隐函数的偏导数的求法。

第二节 多元函数微分学的应用

一、多元函数微分学的几何应用

空间曲线的切线及法平面;空间曲面的切平面和法线。

二、方向导数与梯度

方向导数;方向导数与偏导数的关系;梯度;梯度与方向导数的关系。

三、多元函数的极值与条件极值

多元函数极值和条件极值;多元函数极值存在的必要条件和充分条件;多元函数求极值、最值;求条件极值的拉格朗日乘数法;建立简单实际问题的模型并求最值。

四、二元函数泰勒公式

二元函数的泰勒公式。